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Este estudio nos permite abordar una aplicación de la matemática a la naturaleza como es el de la Ecuación Logística, basada en un modelo de crecimiento de Verhust (1845).
"Verhust afirma que el crecimiento es proporcional: al tamaño de la población, al tiempo considerado y a la diferencia entre una cierta barrera de la población que el medio impone y la población actual. Si esta diferencia es pequeña esto implica que hay menos crecimiento.
Robert May estudió el proceso de una población de insectos mediante la ley de Verhust y, tras una sencilla normalización, llegó a la expresión de la población en el año n+1 o sea P(n+1), a partir de la población en el año n. Esta es:
Pn+1 = r Pn (1-Pn)
siendo r un coeficiente de reproductividad de la colonia que toma distintos valores, entre 1 y 4 según la colonia de insectos de que se trate. Los valores de Pn tras la normalización están entre 0 y 1.
El valor inicial de la población es P0 , es decir la población existente antes del cómputo.
La ecuación anterior se escribe de la siguiente manera con un valor inicial p0
pn+1 = pn +r pn (1-pn)
Haciendo un pasaje de términos se obtiene
pn+1 - pn = r pn (1-pn)
la amplitud de una población desde una generación hasta la próxima.
El tiempo es medido en generaciones, en consecuencia es una variable discreta, o sea n= 1, 2, 3......
Sin embargo se puede estimar el tiempo tendiendo a infinito
con lo cual se puede llegar a considerar como continua. Este tema se los
dejamos para investigar.
Ahora nos dedicaremos a representar la Ecuación logística
normalizada, es decir entre valores [0,1].
La ecuación la traduciremos en donde xn representa
un período y xn+1 el período siguiente y c el factor de
crecimiento del cual estudiaremos diferentes valores.
LOGISTICA
Es conveniente animar el valor c separadamente del punto inicial x0.
Prueba con valores de c y estudia el comportamiento de la órbita.
¿Entre qué valores de c la órbita tiene puntos
fijos ciclos o comienza el "caos" ?.
Aunque diremos que en 2
dimensiones no hay caos, este es un principio.
Luego lo estudiaremos con
nitidez en 3D.
| c | Observación | |
| 2 | = | |
| 3 | = | |
| 3.2 | = | |
| 4 | = | |
| 4.1 | = |