En su libro LA GEOMETRÍA FRACTAL de la naturaleza. (1997). ED: Metatema. de la colección Libros para pensar la ciencia en la Pág. 32 define:

"El hecho de que los fractales elementales sean dimensionalmente discordantes puede servir para dar contenido matemático al concepto hasta ahora intuitivo de fractal."

Luego hace referencia a dos definiciones de DIMENSIÓN.

Dimensión Topológica: designa con este nombre a la dada por Brouwer, Menger y Urysohn, que es la más intuitiva y conocida por todos nosotros desde nuestra niñez. Por otra parte, en la cátedra Elementos de Topología de la  Maestría en Educación Matemática de la UN de Cuyo, Argentina, desde este punto de vista de la Topología nos enseñan con mucha claridad lo siguiente:

Se considera que el conjunto vacío tiene dimensión -1.

Luego, un conjunto de puntos S es de dimensión 0 si no es de dimensión -1, o sea si S contiene al menos un punto, y si cada punto de S puede encerrarse en una región arbitrariamente pequeña cuya frontera corte a S en un conjunto de dimensión -1 ( es decir no contenga ningún punto de S).

Un conjunto de puntos S tiene dimensión n si es de dimensión menor, y si cada punto de S puede encerrarse en una región arbitrariamente pequeña, tal que su frontera corte a S en un conjunto de dimensión n-1.

Dimensión de Hausdorff- Besicovitch ( Mandelbrot, 1997):

Para comprender este concepto debemos basarnos en el concepto de Medida de Hausdorff (1919) que proviene de generalizar la de Carathéodory.

Se trata de cubrimientos de S por discos , y Hausdorff permite que este valor sea fraccionario. A la dimensión basada en esta medida se la conoce por D.

Mandelbrot  "dio el nombre de Fractal , a los conjuntos cuya dimensión no es entera.

Según su propia explicación este término que proviene del adjetivo latino "fractus" que a su vez proviene del verbo "frangere" que significa "romper en pedazos", es la palabra que más se ajusta a designar algo fragmentado e irregular.